Аксиомы стереометрии презентация. Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…

Школьный курс геометрии состоит из двух частей:

Основные понятия

Наряду с точками, прямыми, плоскостями в стереометрии рассматриваются геометрические тела, изучаются их свойства, вычисляются площади их

Объёмные геометрические тела

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…

Стереометрия широко используется в строительном деле

Стереометрия используется в архитектуре

Стереометрия используется в машиностроении

Стереометрия используется в геодезии

Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

Аксиомы стереометрии

Некоторые следствия из аксиом

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ «СЫЗРАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ГЕОМЕТРИИ

РАЗРАБОТАЛА:

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Н.В.ТИХОНОВА

Тема урока: «Аксиомы стереометрии»

Цель урока: Освоение основных понятий стереометрии

Задачи:

Образовательные:

освоение основных понятий стереометрии;

ознакомление с основными понятиями и аксиомами стереометрии;

отработка умения переноса знаний из планиметрии в стереометрию.

Развивающие:

развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе выполнения математических заданий;

развитие внимания, памяти, речи, интеллектуального потенциала, логического мышления студентов;

развитие умение выделять главное, сравнивать изучаемые факты,

логически излагать мысли и находить аналогии;

расширение кругозора студентов;

развитие информационных компетенций.

Воспитательные:

воспитание умения обосновывать высказываемую позицию;

уважительно относиться к мнению оппонента, сотрудничать в процессе совместного выполнения задач;

формировать в ходе урока чувства коллективизма и коммуникативность.

Тип урока: комбинированный

Форма организации деятельности студентов: групповая, индивидуальная.

Материально-дидактическое оснащение:

приложение:

описание проблемы (приложение 1);

информация для размышления (приложение 2);

задание по проверке усвоения теоретического материала (приложение 3);

эталоны ответов к приложению 3 (приложение 4);

оценочный лист (приложение 5);

рефлексия (приложение 6);

оформление доски (приложение 7).

Организационный момент: введение студентов в тему, сообщение цели урока

(3 минуты)

Преподаватель: Здравствуйте, сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии, который называется стереометрия.

Вопрос: Что изучает наука геометрия? (геометрические фигуры и их свойства)

Вопрос: Что означает приставка «стерео» и где в жизни вы с ней встречались? (стереозвук, стереоизображение и т.п.). Стерео означает объём, пространство.

Следовательно, мы будем изучать геометрические фигуры и их свойства, но в пространстве.

Т.о. Стереометрия -это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве.

Изучать будем трёхмерное пространство, в котором мы и живём (надо знать среду своего обитания).

Вопрос: Назовите его измерения. (длина, ширина, высота)

Вопрос: А как вы думаете существуют другие пространства? Ну, например, с четвёртым измерениям?

А почему бы и нет. Об этом много сейчас говорят и пишут. Ах, вы его не видели. А может просто у человека устроен так глаз! Вот возьмём глаз мухи. Он устроен так, что она на экране телевизора видит каждый кадр отдельно, для неё там неподвижные картинки, поэтому она не слетает с экрана, какие бы там не показывали баталии. Но, стоит только занести руку, чтобы её прихлопнуть, она сразу же улетает, настолько чувствителен её глаз.

Преподаватель: Вот вышли мы из плоскости в пространство, значит и основных понятий (фигур) стало больше. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, какая фигура добавиться в пространстве к основным фигурам, а также указать её свойства (то есть сформулировать аксиомы), так как дать определение основной фигуры мы не можем. Изучать стереометрию мы будем в сравнении с планиметрией и всё, что знаем на плоскости берем с собой в пространство.

2. Конфронтация, мотивация студентов

(2 минуты)

Преподаватель: Наука геометрия строится логически.

Перечисляются основные геометрические понятия (фигуры), которые вводятся без определений.

Как, например, немецкий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер в своих работах по математике определил: «Точка-не имеющая ни величины, ни длины, ни ширины, ни толщины. Она начало всех телесных вещей, которые бы мы хотели построить или представить воображением. Изображают её в виде точечного знака-прикосновением пера».

Формулируются аксиомы, которые не требуют доказательства, но в которых отражаются свойства основных фигур.

Доказываются теоремы.

Исходя из сказанного, мы должны решить - какую ещё фигуру надо добавить к основным в планиметрии, чтобы получить основные понятия стереометрии и сформулировать аксиомы для её пояснения (метаплан, приложение 1).

Информация (6 минут)

Преподаватель: Для решения поставленной проблемы вам необходимо освежить аналогичные знания по планиметрии и найти ответы на поставленные вопросы.

Всё, что касается плоскости, будет изображено на коричневых параллелограммах-часть плоскости (модель-крышка стола,поверхность тетради и т. д.); всё, что будет в пространстве, будем изображать на облаке (как бы объёмное что-то).

Вопрос: А теперь вспомните, из чего состоят все геометрические фигуры. (Из множества точек).

Значит и плоскость - множество точек, и пространство-множество точек.

Решение поставленной задачи могут быть разными, но вам необходимо выбрать то, которое, по-вашему, наиболее верное. Для решения данной проблемы вам предлагается информация на доске и в информационном листе (приложение 2).

(Информация на доске, смотри приложение 7).

1. Исследование (3 минуты)

Преподаватель: Изучив информацию, обсудите её с другом в своей микрогруппе. Определитесь, что вам необходимо учесть для представления своего варианта ответа.

1. 1. Принятие решения (5 минут)

Преподаватель: Примите решение самое правильное на ваш взгляд и оформите его в метаплане.

Презентация или дискуссия (9 минут)

Преподаватель: Каждая микрогруппа по очереди оформляет свой выбор на магнитной доске, аргументируя свой его.

7.Сверка с оригинальным решением (7 минут)

Преподаватель: в связи с тем, что в пространстве добавилось новое понятие плоскость, которое не имеет определения, то появилась необходимость в указании её свойств (аксиом), с целью правильного понимания этой фигуры.

Возникают вопросы:

Что такое прямая?

Это множество точек, бесконечное по обе стороны, лежащее в какой-то плоскости. Но, плоскость-это тоже множество точек. Отсюда и аксиома А1, смотрим на доску и в приложение 2.

А что такое пространство?

Это тоже множество точек, причём бесконечное. И среди них есть точки, которые находятся в определенной плоскости. Отсюда и

Аксиома С 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки,принадлежащие плоскости, и точки, не принадлежащие ей. (см. метаплан на доске)

Преподаватель: Если микрогруппа ответила правильно, то ставит в свой оценочный лист (приложение 5) «+», если не правильно или неточно, то ничего не ставит.

Можно предложить следующую модель этой аксиомы: в космическом корабле, где невесомость рассыпали ведро ягоды (точки). Какие-то ягоды находятся на поверхности стола (на плоскости), какие-то выше или ниже его поверхности.

Кто может привести свою модель. За дополнения микрогруппа получает дополнительные плюсы в оценочный лист.

Когда пресекаются две прямые вы знаете из аксиомы А 2. А как определить пересечение двух плоскостей?

Аксиома С 2: Если две различные плоскости имеют точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. (см. метаплан на доске)

Не забывайте свои результаты отражать в оценочном листе.

Можно предложить следующую модель этой аксиомы: полуоткрытая книга.

Приведите вы примеры моделей, их можно найти в любом помещении (пересечение двух стен).

Чтобы задать единственную прямую необходимо всего две точки. А что необходимо, чтобы задать единственную плоскость?

Аксиома С 3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

А сколько точек задают две пересекающиеся прямые? (3 точки)

Модель: дверь (плоскость) в кабинете закреплена на двух шарнирах (точках).

Вот она заняла одно положение,вот-другое и т. д. То есть через две точки можно провести множество плоскостей. А теперь я к двум точкам (шарнирам) добавлю ещё одну на этой же прямой (ещё один шарнир). Что изменилось? Ничего. Значит надо взять третью точку, не лежащую на одной прямой с первыми двумя. Закрываю дверь на замок или шпингалет (точка). Всё! Плоскость (дверь) не сдвинуть. Положение её одно единственное, а значит и плоскость единственная!

За эту аксиому, если она сформулирована правильно, поставьте в оценочном листе два плюса.

А ваши модели? (Во время этого этапа преподаватель на магнитной доске оформляет свой вариант, не убирая варианты обучающихся).

Контроль по применению полученных знаний (6 минут)

Преподаватель: В качестве разминки предлагаю всем классическую задачу: В кабинет влетели три мухи. Когда они будут находиться в плоскости? (Этот вопрос любят задавать преподаватели ТГУ абитуриентам на вступительных экзаменах).

А теперь у каждого своё задание по проверке усвоения теоретического материала (приложение 3).

Затем по оценочным листам выставляем себе оценки.

Подведение итогов, рефлексия. (4 минуты)

Преподаватель: Теперь проверим, как вы усвоили теоретический материал. Для этого сдайте мне информационные листы, взамен получите контрольные листы (приложение 4). Каждый из вас выполнял работу самостоятельно. Проверьте правильность ваших ответов и отразите их в оценочных листах.

Преподаватель: Ваша работа оставила приятное впечатление. Каково ваше мнение об уроке? На столах у вас карточки - символы. Солнце - символ хорошей погоды, а значит и хорошего настроения. Если урок вам понравился, было интересно, полезно, то при голосовании поднимите эту карточку.

Если на уроке не всё было интересно, то поднимите Облачко - символ переменной погоды.

Если урок совсем не понравился и время тянулось бесконечно-то поднимите Луну -символ того, что на этом уроке просто хотелось спать.

А в заключении урока хочу сказать, что наука геометрия появилась из практической деятельности человека. Это сложное слово состоит из двух частей: гео (от греческого ge -Земля), ...метрия (от греческого metreo -измеряю). Поэтому, надеюсь, что сегодня вы ещё раз убедились в необходимости изучения этой науки.

10.Задания на дом: пункт 1 и 2. повторить теорему косинусов, задачи планиметрические.

Всем спасибо за урок.

Как и планиметрия, стереометрия держится на некоторых аксиомах, на основе которых в дальнейшем будут доказываться теоремы и решаться задачи. Аксиомы, как известно, не требуют доказательств. Если пропустить данную тему, то дальнейшее изучение стереометрии не будет иметь никакого смысла. Решения станут непонятны, ученик отстанет от своих сверстников, успеваемость во многом понизиться. Поэтому стоит хорошо изучить данную презентацию. Сделать это можно и в классе вместе с учителем, и в домашней обстановке. Упустив эту тему, дальнейшие решения в последующих презентациях не будут понятны, ведь ссылаются на аксиомы в данном уроке.

Презентация состоит из 14 слайдов, на первом из которых напоминается определение понятия аксиомы. Далее уточняется, что же является аксиомой в стереометрии. Первая аксиома в данном разделе говорит о том, что через три точки можно провести лишь одну плоскость. Это очень важное утверждение. Школьники должны хорошо себе это представлять и понимать, что через одну или две точки можно провести бесконечное множество плоскостей. Изображение плоскости, проведенной через три точки, приводится на этом же слайде.

Вторая аксиома гласит о том, что если некоторые точки произвольной прямой (минимум 2) лежат на плоскости, то все бесконечное количество точек также лежат на этой плоскости. Убедиться в этом можно также просто. Однако доказать нельзя. На то утверждение и является аксиомой. Если ученики не понимают или не представляют ту или иную аксиому, можно предложить им доказать обратное практическим образом. То есть привести хоть один пример, который будет опровергать утверждение. Благодаря этому они смогут развить математическое и пространственное мышление.

Следующая аксиома, А3, говорит о пересечении двух плоскостей об общей прямой, которой они обладают. Плоскости изображены через параллелограммы. Есть также иные способы их обозначения, однако данный является наиболее распространенным во многих учебниках, в том числе и школьных.

На следующем слайде выводятся изображения трех аксиом. Все эти чертежи желательно перечертить в тетрадях, чтобы лучше запомнить и понять. Таким образом, можно лучше запомнить аксиомы. Итак, были рассмотрены три основных утверждения, к которым школьники неоднократно будут возвращаться. Желательно знать их формулировки и уметь правильно ими воспользоваться, также воспроизвести их в случае необходимости.

Далее презентация предлагает рассмотреть задачу, в которой исследуется такое тело, как тетраэдр. С этой фигурой школьники ранее были знакомы, и вероятнее всего имели дело. Для того, чтобы учитель понял, могут ли справиться ученики с пространственным мышлением, предлагается определить некоторые плоскости, точки пересечения и т.д. на фоне этой фигуры. Если у некоторых возникают трудности, то стоит им задать на дом похожие примеры, чтобы они смогли лучше понять суть.

После этой задачи приводится еще одна. Для ее решения, необходимо вспомнить все изученные аксиомы и научиться ими воспользоваться. В случае, если останется время от урока, стоит рассмотреть как можно больше практических задач с классом.

С помощью презентации «Аксиомы стереометрии» молодой учитель может провести интересный урок, привлечь внимание учеников. Благодаря оптическому восприятию, школьники смогут лучше усвоить и понять материал. При написании плана конспекта, которым занимаются в обязательном порядке молодые учителя, презентация также пригодится. Она поможет правильно структурировать урок и не пропустить ни одну аксиому, ни одно важное объяснение и замечание.

Примеры, которые приводятся в презентации, также станут полезны при проведении урока.

Изучение математики важно в двух отношениях:

во-первых, по сильному влиянию

этой строгой науки на развитие умственных способностей,

во-вторых, по обширности ее приложений.

М. Остроградский

Учебное занятие по геометрии

План занятия

Проверка домашнего задания

Изучение новой темы

Задание на дом

Знание – самое превосходное из владений.

Все стремятся к нему, само же оно не приходит.

Ал - Бируни

Изучение новой темы

• История геометрии
• Основные понятия геометрии
• Аксиомы стереометрии
• Следствия из аксиом

Цели и задачи

• Оперировать понятиями точка, прямая, плоскость, пространство.
• Познакомиться с аксиомами стереометрии и их следствиями.
• Применять аксиомы при решении задач.

История геометрии

1 Зарождение и определение геометрии

2 Основные этапы развития геометрии

Основные понятия в геометрии

Геометрия ― часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел; наука о фигурах и преобразовании фигур.

Теорема - утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства.

Аксиома - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.

Основные понятия геометрии

Геометрия

Планиметрия

Стереометрия

раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве и свойства этих фигур.

раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Основные понятия геометрии

Планиметрия

Плоскость

Точка

Прямая

Пространство

Стереометрия

Основные понятия геометрии

Плоскость ― это модель идеально ровной и гладкой поверхности, бесконечно продолженной во все стороны.

Основные понятия геометрии

Классическая модель пространства – трехмерное евклидово пространство.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Основные понятия геометрии

Теоремы стереометрии

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 (аксиома принадлежности прямой)

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 2 (аксиома о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии

Аксиома о трех точках

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии

Аксиома преемственности

В пространстве существуют плоскости. В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии.

Следствия из аксиом

Теорема 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 2

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 3

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из аксиом

Замечание

Через любую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Слишком разбросанный ум к постижению вещей не способен.

Д. Кардано

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиомы стереометрии

В пространстве существуют плоскости.

В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии описывают:

Способ задания плоскости

Следствия из аксиом

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

Способы задания плоскости

Плоскость можно провести через три точки

Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку

Можно провести через две пересекающиеся прямые

Теорема 1

Теорема 3

Аксиома 3

Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость и притом одна?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли прямые АВ и СД пересекаться?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Верно ли утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Верно ли утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

1) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС;

2) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ;

3) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB .

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ;

2) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC .

B 1

C 1

A 1

D 1

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) прямую, по которой пересекаются плоскости BCD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC и A 1 B 1 B ;

2) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1

Все искусства тяготеют к музыке; все науки - к математике.

Дж. Сантаяна

Наши знания никогда не могут иметь конца именно потому, что предмет познания бесконечен.

Б. Паскаль

• Что такое стереометрия?
• Возникновение и развитие стереометрии
• Основные фигуры в пространстве
• Обозначение точек и примеры их моделей
• Обозначение прямых
• Примеры моделей прямых
• Обозначение плоскостей и примеры их моделей
• Что еще изучает стереометрия?
• Окружающие нас предметы и геометрические тела
• Изображение геометрических тел на чертежах
• Практическое (прикладное) значение стереометрии
• Аксиомы стереометрии
• Следствия из аксиом стереометрии
• Закрепление
• Используемая литература

Что такое стереометрия?

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Возникновение и развитие стереометрии.

• Развитие стереометрии началось значительно позднее планиметрии.
• Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека.

• Уже первобытный человек, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды.
• Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки.

• Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел.
• Потребность земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и её частей, а следовательно и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

Основные фигуры в пространстве.

Плоскость –геометрическая фигура, простирающаяся неограниченно во все стороны

Обозначение точек и примеры их моделей.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, …

Примерами моделей точек являются:

атомы и молекулы

планеты в масштабах вселенной

Обозначение прямых.

• Прямые обозначаются:
• строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k, …
• двумя заглавными латинскими буквами AB, CD …

Примеры моделей прямых.

Примерами моделей прямых могут служить:

инверсионные следы самолетов

Обозначение плоскостей и примеры их моделей.

Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ,…

Примерами моделей плоскостей могут служить:

поверхность воды

поверхность стола

Что еще изучает стереометрия?

На ряду с точкой, прямой и плоскостью стереометрия изучает геометрические тела и их поверхности.

Окружающие нас предметы и геометрические тела.

Окружающие нас предметы дают представления о геометрических телах.

А изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем сведения о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности.

кристаллы- многогранники

жестяная банка - цилиндр

упаковка для конфет - конус

Изображения геометрических тел на чертежах.

• Изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость.
• Невидимые части фигуры изображаются штриховыми линиями.

Практическое (прикладное) значение стереометрии.

• Геометрические тела являются вымышленными объектами
• Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.)
• Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении и других областях науки и техники

Аксиомы стереометрии.

• Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиомы стереометрии.

А1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Аксиомы стереометрии.

А2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Аксиомы стереометрии.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, что плоскости пересекаются по прямой

Следствия из аксиом.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.

Закрепление.

1.Назовите плоскости, в которых лежат прямые:

Закрепление.

2. Назовите точку пересечения прямой СE с плоскостью ADB.

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости:

Используемая литература

• Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2012.- 255 с.: ил.
• Геометрия: методическое пособие для высших педагогических заведений и преподавателей средней школы: ч. 2 Стереометрия/ под ред. Проф. И.К. Андронова.